Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки Полтавської облдержадміністрації

Полтавське територіальне відділення МАН України

Гадяцьке районне наукове товариство учнів

Відділення: математика

Секція: математика

прийоми швидкого рахунку

Роботу виконала:

Банга Альона Андріївна,

учениця 9 класу Сватківської

загальноосвітньої школи I – III ст. Гадяцької районної ради

Полтавської області

Науковий керівник:

Таран Таїсія Іванівна,

вчитель математики Сватківської

загальноосвітньої школи I – III ст. Гадяцької районної ради

Полтавської області,

спеціаліст вищої

кваліфікаційної категорії

Гадяч –2015

ВСТУП

Математика – не книга, вміщена в обкладинку і скріплена мідними застіжками, зміст якої потребує лише терпіння, щоб ритися в ній, не шахта, скарбами якої можна оволодіти довго, але в якій лише обмежена кількість рудоносних жил і жилок, не земля родючість якої може бути виснажена одержанням кількох урожаїв підряд, не континент або океан, простори яких можна зобразити на карті і визначити їх контури, вона безмежна, як простір, його вона вважає дуже обмеженим для своїх прагнень, її можливості так само неосяжні як світи, що вічно скупчуються і множаться під уважним поглядом астронома.

Сучасний рівень розвитку суспільства взагалі, й сфер людської діяльності зокрема, характеризується повсюдним впровадженням комп´ютерної техніки і економіко-математичних методів у всі галузі економіки. Математичні розрахунки є необхідною складовою роботи сучасних інженерів, економістів і будь-яких спеціалістів, які раніше ніколи не стикалися з необхідністю виконувати обчислювальні операції. Та навіть зараз, за умови повсюдної комп´ютеризації, актуальною лишається проблема швидкого рахунку. Адже відсутність навичок швидких обчислень часто змушує відмовлятися від оціночних розрахунків, від розгляду низки варіантів, таких необхідних для прийняття грамотного і правильного рішення.

Оволодіння раціональною, швидкою та витонченою технікою лічби потребує певних зусиль, а головне-творчого ставлення до процесу обчислень, адже найефективніші методи, які дають найбільший виграш в обчислювальній роботі, ґрунтуються на свідомому використанні основних особливостей чисел, які застосовуються в обчисленнях.

У всі часи математика була і залишається одним з основних предметів у школі, тому що математичні знання необхідні всім людям. Не кожен школяр, навчаючись у школі, знає, яку професію він обере в майбутньому, але кожен розуміє, що математика необхідна для вирішення багатьох життєвих завдань: розрахунки в магазині, оплата за комунальні послуги, розрахунок сімейного бюджету і т. д. Крім того, всім школярам необхідно здавати іспити в 9-му класі і ЗНО в 11-му класі, а для цього, навчаючись з 1-го класу, необхідно якісно освоювати математику і перш за все, потрібно навчитися швидко і правильно рахувати. У наш час високих технологій і використання комп'ютера вміння швидко і правильно проводити у умі досить складні обчислення в жодному разі не втратило своєї актуальності. Здатність, наприклад, швидко проводити у умі обчислення викликає відвертий подив. Більшість вважає навіщо завантажувати себе зайвою роботою, є калькулятори, комп´ютери нащо думати і ламати голову над якимсь обчисленням. Та й складні формули і алгоритми шкільної програми віддаляють і далі ведуть учнів від простих, зрозумілих навичок швидкого рахунку.

Отже, у зв´язку з цим цілком очевидною є актуальність даної роботи, а саме озброєння прийомами швидкого рахунку, що дасть можливість виявити і розкрити математичний потенціал, покращити успішність, відчути впевненість при виконанні складних обчислень у повсякденному житті та сприятиме розвитку таких якостей мислення, як спостережливість, гнучкість, критичність.

Гіпотеза дослідження: володіння прийомами швидкого рахунку дасть можливість підвищити якість і швидкість обчислень учнів.

Предмет дослідження - процеси швидкого рахунку .

Об’єкт дослідження - прийоми швидкого рахунку.

Метою роботи є вивчення прийомів швидких обчислень,

Для досягнення поставленої мети були визначені такі основні завдання:

- ознайомлення з літературою в якій зустрічаються різні прийоми

швидкого рахунку;

- підбір найбільш поширених і доступних прийомів;

- збір і обробка матеріалів;

- ознайомлення з прийомами швидкого рахунку;

- дослідження, чи застосовують школярі прийоми швидкого рахунку;

- висновки про підтвердження або не підтвердження висунутої гіпотези.

У процесі дослідження використовувалися такі методи: опитування

(анкетування), аналіз (статистична обробка даних) , робота з джерелами

інформації , практична робота , спостереження, бесіди з людьми , які знають

прийоми швидкого рахунку.

Зв´язок даної роботи зі шкільною програмою.

Дана робота тісно пов´язана зі шкільною програмою тим, що на кожному уроці формуються обчислювальні навички, де неабияку роль відіграє застосування прийомів швидкого рахунку .

Наукова новизна дослідження полягає в тому , що нами зроблена спроба систематизувати існуючі матеріали про прийоми швидкого рахунку та ознайомлення з ними учнів школи . У процесі роботи опрацьовані різні джерела інформації , а також результати власних досліджень автора.

Практичне використання.

Результати дослідження можуть бути використані вчителями математики, початкових класів, фізик, хімії, інформатики та учнями при підготовці до іспитів та ЗНО, при підготовці та проведенні позакласних заходів.

РОЗДІЛ 1

ПРИЙОМИ ШВИДКОГО РАХУНКУ

1.1.Дещо з історіі прийомів швидкого рахунку.

Ніхто не знає, коли вперше з'явилося число, як первісні люди почали рахувати . Проте десятки років тому первісні люди збирали плоди дерев, ходили на полювання, ловили рибу, навчилися робити кам'яну сокиру і ніж, і їм доводилося рахувати різні предмети, із якими зустрічалися у повсякденному житті. Поступово виникала необхідність відповідати на життєво важливі і людина того не помічаючи почала рахувати і обчислювати.	Феномен особливих здібностей в швидкому рахунку помічається з давніх-давен. Як відомо, ними були вчені, зокрема, Андре Ампер і Карл Гаусс, якого називали королем математики. Його математичне обдарування проявилося вже в дитинстві. Одного разу в школі (Гауссу було 10 років) вчитель запропонував класу скласти всі числа від 1 до 100. Поки він диктував завдання, у Гауса вже була готова відповідь. На його грифельній дошці було написано: 101 х 50 = 5050. Як він обчислив? Дуже просто – він застосував прийом швидкого рахунку, він складав перше число з останнім, другий з передостаннім і т. д. таких сум всього 50 і кожна дорівнює 101, тому він зміг майже миттєво дати правильну відповідь. 1 +2 + … +50 +51 +. +99 +100 =

(1 +100) + (2 +99) + … + (50 +51) = 101.50 = 5050. Цей приклад, краще всього, показує, що можна рахувати швидко і правильно практично всім школярам, для цього всього лише потрібно знати прийоми швидкого рахунку.

А чи зможе учень 9 класу, де вивчається формула суми п-перших членів арифметичної прогресії помітити закономірність? Мабуть, ні. Проте, вміння швидко рахувати було властиве і людям, чия професія була далекою від математичної науки загалом.	До другої половини ХХ століття на естраді були популярними виступи фахівців з швидкого рахунку. Іноді вони влаштовували показові змагання між собою. Відомими «суперлічильниками» є Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрій Гірський, Борислав Гаджански, Вільям Клайн, Томас Фулер та інші. Окремі фахівці запевняли, що справа у природих здібностях, інші аргументовано доводили зворотне: справа не тільки у якихось виняткових, феноменальних здібностях, а й у знанні деяких математичних законів, які дозволяють швидко робити обчислення і з бажанням розкривали ці закони. Істина, звісно ж, виявилася такою простою: поєднання природних здібностей й освіченого, працьовитого їх пробудження, започаткування і використання. Опрацьовуючи літературу знайшла, що таке вдале поєднання обох умов (природного обдарування і великої грамотної роботи над собою) у нашого співвітчизника, уродженця міста Конотоп Сумської області Романа Семеновича Арраго ( Лєвітіна). Мабуть, єдина науково обгрунтована і докладно розроблена система підвищення швидкості швидкого рахунку була створена Цюрихским професором математики Я. Трахтенбергом. Вона відома під назвою "Системи швидкого рахунку". Історія її створення незвична. У 1941 року гітлерівці кинули Трахтенберга до концтабору. Щоб вціліти в нелюдських умовах і зберегти нормальну свою психіку, Трахтенберг почав розробляти принципи прискореного рахунку. За чотири страшних роки у концтаборі професору удалося створити струнку систему прискореного навчання і дорослих, і дітей основам швидкого рахунку. По закінченні війни Трахтенберг створив і очолив Цюрихський математичний інститут, який одержав світову популярність. Також розробкою прийомів швидкого рахунки займалися інші вчені: Яків Сидорович Перельман, Георгій Берман та інші.	У своїй роботі наведу приклади прийомів швидкого рахунку, які, на мій погляд, отримали найбільший опис у літературі.

1.2.Чи потрібно в школі приділяти увагу швидкому рахунку.

Із давніх-давен усіх дивувала, зачаровувала, приваблювала і водночас дратувала здатність деяких людей швидко й правильно виконувати досить складні обчислення. Історія дбайливо зберігає імена таких диво-рахівників. Це і Метьюле Кок та Самюель Пепіс, що жили у ХУІІ столітті , і Джедедія Бактон та Томас Фуллер відомості прояких дійшли до нас від початку ХУІІІ століття, це і наш співвітчизник Роман Семенович Арраго ( Лєвітін) (народився у Конотопі Сумської області у сім´ї ремісника у 1883 році) -людина наділена рідкісною здатністю майже блискавично виконувати найскладніші обчислення. Він казав: «Майстерність або мистецтво швидких обчислень, звичайно, ані трохи не нижче, якщо не вище, ніж щахове мистецтво, де потрібно думати і комбінувати. Хочеться, щоб до тих, хто прагне обчислювати, залучалося якомога більше молодих людей».І хоч він мав природні задатки, проте знав різні прийоми і використовував їх при лічбі.

Чи вмієте ви рахувати? Чи знаєте ви прийоми швидкої лічби? Чи хочете з ними познайомитися і користуватися? Чи потрібна таблиця множення? Питання, мабуть, образливі для людини старше трирічного віку. Хто не вміє рахувати? Кожен відповість, що для цього особливого мистецтва не потрібно. І буде правий. Але питання – як рахувати? Чи треба знати таблицю множення? Можна рахувати на калькуляторі, тоді не потрібна таблиця, можна рахувати стовпчиком в зошиті, а можна рахувати швидко, використовуючи прийоми швидкого рахунку. І ось, опрацювавши багато літератури, провівши анкетування учнів, я прийшла до висновку: з учнів школи мало хто швидко рахує, не використовуючи калькулятора, більше того, значна частина не достатньо обізнана з прийомами швидкого рахунку і навіть не досить впевнено знають таблицю множення, але бажають і рахувати швидко і знати прийоми швидкого рахунку.

Для початку, було проведено анкетування в 3-11 класах нашої школи. Задавала прості запитання: навіщо, взагалі, потрібно вміти рахувати; при вивченні яких шкільних предметів потрібен швидкий правильний рахунок; чи відомі прийоми швидкого рахунку; чи хотілося б навчитися швидко рахувати усно?

В опитуванні взяли участь 53 учні. Проаналізувавши результати, дійшли до висновку, що більшість учнів вважає, що вміння рахувати пригодиться в житті, а навчаючись в школі, особливо потрібне при вивченні математики, фізики, хімії, інформатики, технології і при складанні іспитів, ЗНО. Прийоми швидкого рахунку знає не значна частина учнів, але майже всі хотіли б навчитися швидко рахувати. Таблицю множення знають не всі учні. (Результати анкетування відображені в діаграмах).

Провівши статистичну обробку даних, були отримані наступні результати:

(1)Вміти рахувати треба, тому, що це знадобиться в житті, вважають 93% учнів, (2) щоб добре вчитися в школі – 72%, (3) щоб швидко вирішувати – 61%, (4) щоб бути грамотним – 34% і (5) не обов’язково вміти рахувати – всього 3 % .(Додаток А).

Навички хорошого рахунку необхідні при вивченні математики, вважають 100% учнів, при вивченні фізики – 90%, хімії – 80%, інформатики – 44%, технології – 36%. (Додаток Б).

Прийоми швидкого рахунку знають 16% (багато прийомів), 25% (кілька прийомів), не знають прийомів швидкого рахунку – 59% учнів.

Застосовують прийоми швидкого рахунку 21% учнів, іноді застосовують – 15%. Хотіли б дізнатися прийоми швидкого рахунку 93%. (Додаток В)

Отже, прийомам швидкого рахунку слід приділяти увагу.

1.3 Прийоми швидкого рахунку

Вивчивши літературу з даної теми, нами був зроблений відбір: з безлічі прийомів швидкого рахунку вибрано прийоми швидкого рахунку, які прості в розумінні та застосуванні для будь-якого учня. На цих прийомах і зупинимось. Тож сміливо занурюйтесь у цей цікавий світ швидких обчислень!

Множення і ділення числа на 4.

Щоб помножити число на 4, потрібно його двічі помножити на 2.

Наприклад:

26 х 4 = (26х 2) х 2 = 52х2 = 104;

417 х 4 = (417 х 2) х 2 = 834 х 2 = 1668.

Щоб розділити число на 4, потрібно його двічі розділити на 2.

Наприклад:

324:4 = (324:2): 2 = 162:2 = 81.

Множення і ділення числа на 5.

Щоб помножити число на 5, потрібно його помножити на 10 і розділити на 2.

Множення числа на 9.

Щоб помножити число на 9, потрібно до нього приписати 0 і відняти вихідне число. Наприклад:

72 х 9 = 720-72 = 648.

Множення на 25 числа, що ділиться на 4.

Щоб помножити на 25 число, що ділиться на 4, потрібно його розділити на 4 і знайдене число помножити на 100.Наприклад:

124 х 25 = (124:4) х 100 = 31х100 = 3100.

Множення двоцифрового числа на 11

При множенні двоцифрового числа на 11, потрібно між цифрою одиниць і цифрою десятків вписати суму цих чисел, причому, якщо сума цифр більше 10, то одиницю треба додати до старшого розряду . Наприклад:

23 х11 = 253, тому що 2 +3 = 5, тому між 2 і 3 ставимо цифру 5;

57 х11 = 627, тому що 5 +7 = 12, цифру 2 ставимо між 5 і 7, а до 5 додаємо 1, замість 5 пишемо 6.

Множення двоцифрового числа на 101.

Для того, щоб число помножити на 101, потрібно приписати дане число до самого себе. Наприклад:

34 х 101 = 3434.

Пояснимо, 34 х 101 = 34 х100 +34 х 1 = 3400 +34 = 3434.

Зведення в квадрат двоцифрового числа, що закінчується на 5.Щоб піднести до квадрата двоцифрове число, яке закінчується на 5, потрібно цифру десятків помножити на цифру, більшу на одиницю, і до отриманого добутку приписати праворуч число 25. Наприклад:

= 1225, тобто 3 х 4 = 12 і до 12 приписуємо 25, отримуємо 1225.

Зведення в квадрат двоцифрового числа, яке закінчується на 5.

Для піднеення до квадрата двоцифрового числа, яке закінчується на п’ять, треба додати до 25 другу цифру числа і приписати праворуч квадрат другої цифри, причому якщо квадрат другої цифри – однозначне число, то перед ним треба поставити цифру 0. Наприклад:

= 2704 тому , що 25 +2 = 28 і 2 х2 = 04;

= 3364 тому , що 25 +8 = 33 і 8 х8 = 64;

=3136 тому , що 25 +6=31 і 6х6=36.

Множення на 11 числа, сума цифр якого не перевищує 10.	Щоб помножити на 11 число, сума цифр якого менше 10, треба подумки розсунути цифри цього числа, поставити з-поміж них суму цих цифр, до першої цифри додати другу. Наприклад: 72 x 11 = 7 (7+2) 2 = 792; 35 x 11 = 3 (3+5) 5 = 385;

Множення на 11 числа, сума цифр якого більше 10.

Щоб помножити на 11 число, сума цифр якого більше 10, треба подумки розсунути цифри цього числа, поставити з-поміж них суму цих цифр, та до першої цифрі додати 1, а другу і останню (третю) цифру залишити без зміни. 78 x 11 = 7 (7+8) 8 = 7(13)8 = 858; 94 x 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034.

Множення на одинадцять (по Трахтенбергу)

Основні правила множення на 11 . 1.Остання цифра числа , яке множиться записується як сама права цифра результату. 2.Кожна наступна цифра додається до свого правого сусіда. 3.Перша цифра є самою лівою цифрою результата. Це останній крок. Покажу це на прикладі прикладу: 633 х 11. За першим правилом 633х11	3

Друге правило. Кожна наступна цифра числа 633 складається зі своїм правим сусідом і записується в результат. 3 + 3 буде 6. Перед трійкою записуємо результат 6

633 х11	63

Знову застосовуєм друге 6 + 3 буде 9.

633 х11	963

Третє правило. Перша цифра числа 633, тобто 6, стає лівою цифрою результату: 633 х11

6 963

Відповідь: 6963.

Множення на одинадцять по Берману

Берман довів, що при множенні на одинадцять, число потрібно помножити на 10 і додати само до себе, тобто те число, яке ми множимо.Приклад : 11 х 11 = 11 х (10 + 1) = 11 х 10 + 11х 1 = 110 + 11 =121. Відповідь: 121. Приклад: 123 х 11 = 123 х (10 +1) = 123 х 10 + 123 х 1 = 1230 + 123 =1353 Відповідь: 1353. Множення на число 111, 1111 тощо, знаючи правила множення двоцифрового числа на число 11.Якщо сума цифр першого множника менше 10, треба подумки розсунути цифри цього числа на 2, 3 кроки (кількість кроків це кількість цифр другого множника мінус один, тобто на один менше від кількості цифр другого множника) цифрами. Кількість кроків завжди менша за кількість одиниць на 1.

Приклад: 24 x 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (кількість кроків - 2)

24 х 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664(кількість кроків- 3) При множенні числа 72 на 111111 цифри 7 і 2 треба розсунути на п'ять кроків. Ці обчислення можна легко зробити про себе.Трохи складніше виконати усне множення, якщо сума цифр першого множника дорівнює 10 або більше 10. Приклад: 48 x 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328. 56 x 11111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216 67 x 1111 = 6(6+7) (6+7) (6+7)7 = 6(13) (13)(13)7 = 74437 Множення на дванадцять (по Трахтенбергу) Правило множення на 12: потрібно подвоювати по черзі кожну цифру і додавати до неї по черзі її «сусіда». Приклад: 63247 х 12 Необхідно записувати цифри першого множника через інтервал і кожну цифру результату писати точно під цифрою числа 63247, з якої вона утворилася.

63247 х 12 дважди 7 буде 14, переносимо 1

4

063247 х 12 дважди 4 буде 8+ 7 + 1 = 16, переносимо 1

64

063247 х 12 дважди 2 + 4 + 1 = 9

964

Подальші кроки аналогічні.

Відповідь : 758968

Множення на дванадцять ( по Берману) При множенні на 12 можна число помножити спочатку на 6,потім на 2, множник 12 був поданий у вигляді добутку 6 х 2, а можна подати у вигляді добутку 3 х 2 х 2 Приклад : 136 х 12 = 136 х 6 х 2 = 816 х 2 = 1632 136 х 12 = 136 х 3 х 2 х 2 = 408 х 2 х 2 = 816 х 2 = 1632

Множення на шість (по Трахтенбергу).(Додаток Г)
Множення на сім (по Трахтенбергу).(Додаток Д)

Отже ,система швидкого рахунку за Трахтенбергу полягає в закономірності множення чисел, але вона громіздська , проте застосування її заставляє думати, розвиває вміння здобуті теоретичні знання використовувати при розв´язуванні того чи іншого завдання і ці правила, прийоми застосовувати творчо.

РОЗДІЛ 2

ПРОСТІ ПРИЙОМИ ШВИДКОГО РАХУНКУ

2.1 З історії народної лічби.

Археологічні пам'ятки свідчать, що вже у IX—X ст. східні слов'яни застосовували прості прийоми швидкого рахунку. У ХУШ-ХІХ ст. ці способи поступово удосконалювалися, хоч подекуди серед населення залишились у вжитку обчислення, що виникли у давнину. Деякі селяни дуже швидко і правильно обчислювали на пальцях, особливо дію множення.
Наприклад, 7 х 9. На одній руці загинаємо стільки пальців, на скільки 7 більше 5, тобто загинаємо 2 пальці. На другій — на скільки 9 більше 5, тобто загинаємо 4 пальці. Отже, на одній руці загнуто 2, не загнуто 3 пальці; на другій руці загнуто 4 пальці, не загнутий 1 палець. Далі знаходимо число усіх загнутих пальців 2 + 4 = 6 (це будуть десятки ) і знаходимо добуток числа незагнугих пальців 3 х 1 = 3 (це будуть одиниці). У результаті одержуємо число 63. Цей спосіб описано у підручнику «Арифметика» Магницького, який вийшов у світ у 1703 р.

Взявшись за написання роботи я зустрілася із старожилами села Сватки Котко Марією Іванівною, Куделею Петром Назаровичем, які розповіли, як рахували старожили: мірошники обрахунки вели пудами, тканину вимірювали ліктями, а трошки пізніше аршинами, щоб обчислити площу, довжину і ширину вимірювали у сажнях, рахували на пальцях. Із їхніх слів, мірошник рахував скільки за день було привезено зерна у млин, скільки грошей вторгує купець. І цим людям всі довіряли, вважали їх освіченими, бо на село це були одиниці. У Сватках це був Василенко Юхим Павлович. Він був писемним і міг зробити всі обчислення.

1.На млин привезли спочатку 48 пудів зерна , потім 95 пудів зерна , а пізніше - 117 пудів зерна.
Щоб дізнатися, скільки всього зерна привезли на млин, мірошник підрахував: перший раз — 50 пудів (на 2 менше), другий раз — 100 пудів (на 5 менше), третій 120 пудів (на 3 менше). Мірошник спочатку додавав «круглі» числа, потім віднімав зазначені числа: 50+100+120-(2+5+3)=260 пудів. 2. 5 аршинів полотна коштує 1 крб. 85 коп. Але ще потрібно докупити 2 аршини полотна . Скільки потрібно грошей на 2 аршини?
Міркування проводилося так: якби 5 аршинів коштували 2 крб., то за 1 аршин треба заплатити 40 коп., але заплачено на 15 коп. менше за них, тому 1 аршин коштує на 3 коп. менше, тобто коштує 37 коп. Отже, за 2 аршини треба заплатити 30 + 30 =60 і 7 + 7 = 14. Разом: 60 + 14 = 74 (коп.).

2.2 лічба на пальцях

Зі слів жительки нашого села Сегеди Лідії Григорівни, пальці в її дитинстві виконували роль калькулятора. Швидкій лічбі на пальцях її навчив дідусь, а вона передає своїм дітям , онукам. Зупинюсь на способі , який розповіла Лідія Григорівна: «Таблицю множення чисел треба добре знати до 6, » - говорить Лідія Григорівна, а далі, наприклад, щоб помножити 7 х 8
7 на 2 більше ніж 5. Загинаємо 2 пальці на лівій руці.
8 на 3 більше ніж 5. Загинаємо 3 пальці на правій руці.

Множимо суму загнутих пальців на 10, одержуємо: 5 ∙ 10 = 50.
Множимо число не загнутих пальців однієї руки на число не загнутих пальців другої руки, одержуємо: 3 ∙ 2 = 6.
Додаємо одержані добутки: 50 + 6 = 56.
Отже, 7 ∙ 8 = 56.

Користуючись цим методом, можна швидко вивчити таблицю множення
Таблиця множення числа 9 на пальцях.(Додаток Е).

2.3 Китайський спосіб множення натуральних чисел на паличках
А зараз я постараюсь пояснити суть китайського множення
Помножимо 34 х 21

Крок перший . Проводимо паралельні вертикальні лінії , їх стільки скільки цифр у першому множнику ( 3 ; 4).

Крок другий . Проводимо паралельні горизонтальні лінії лінії , кількість яких показує скільки цифр у другому множнику (2 і 1).

Крок третій. Далі рахуємо, скільки точок перетину у першому «кутику » , їх тут 6, потім у другому - їх 8 , потім у третьому - їх 4, потім у четвертому їх -3.

Крок четвертий 600+110 + 4=714 (Додаток И)

2.4 Спосіб решітки
Суть цього способу поясню на прикладі. Нехай потрібно 296 х 73. Рисуємо таблицю з квадратними клітками, в якій буде три стовпці і два рядки (по кількості цифр у множниках). У кожній клітці проведемо діагоналі . Над таблицею запишемо число 296, а з правого боку вертикально -73.Далі перемножимо кожну цифру першого числа на кожну цифру другого і запишемо добутки в відповідних клітинках, десятки над діагоналями, а одиниці під нею. Цифри добутку одержимо додаванням цифр по діагоналях. При цьому треба рухатися за годинниковою стрілкою , починаючи з правої нижньої клітки: 8, 2 + 1 + 7 і т.д. Запишемо результати під таблицею, а також зліва від неї. ( Якщо при додаванні вийде двоцифрове число, треба брати одиниці , а десятки треба додати до суми цифр із наступної діагоналі). (Додаток З)

2.5. Староруський прийом множення двох чисел

Суть цього прийому полягає у тому, що один множник збільшували удвоє, а другий зменшували удвоє, поки один з них не дорівнював одиниці (другий множник — степінь числа 2).
Наприклад, 27 х 16. Один співмножник ставили на початку одного стовпчика і подвоювали, а другий — на початку другого стовпчика і відповідно ділили навпіл, доти, поки не отримували 1:
27 16
54 8
108 4
216 2
432 1
Отже 27 х 16 = 54 х 8 = 108 х 4 = 216 х 2 = 432 х 1 =432.

Інший приклад (Додаток Ж)

2.5. Єгипетский спосіб.

Нехай потрібно 9,6 х 8,5.

Не будемо приймати до уваги коми. Із 96 і з 85 зробимо 100.

96 + 4 = 100 ; 85+ 15=100..

96 4 96-15=81 4 х 15=60

85 15 85-4=81

81 60

Відповідь :9,6 х 8,5=81,60

87 х 98 =8526

87 13 87-2=85; 98-13=85;13 х 2=26

98 2

85 26 Відповідь: 8 526

ВИСНОВКИ

Оволодіння раціональною, швидкою та витонченою технікою рахунку потребує певних зусиль, а головне, - творчого ставлення до процесу обчислень, адже найефективніші прийоми, які дають найбільший виграш в обчислювальній роботі, ґрунтується на свідомому використанні основних властивостей чисел, які застосовуються в обчисленнях.

Дослідження знайомить з різними прийомами швидких і раціональних обчислень, яким приділяється серйозна увага у багатьох країнах світу, і які покликані полегшити, раціоналізувати й забезпечити більшу надійність як практичних обчислень, так і тих, які опановуються в школі.

Суть прийомів, запропонованих у роботі, проста. Проте , звичайно, як на будь-яку нову справу, на їх засвоєння знадобляться і час, і певна енергія. Та справа того варта.

Працюючи над темою «Прийоми швидкого рахунку», відкрила багато нового і цікавого для себе і своїх товаришів.

Опрацьовуючи наукову літературу, проводячи анкетування, бесіди з односельцями, своїми товаришами, вчителями, бачимо, що необхідно знати прийоми швидкого рахунку. І дивно те, що деякі прийоми я знала, але по іншому, як на своїх помічників при обчисленнях, подивилася на них тільки при виконанні даної роботи.

Зібрані матеріали, можна використати на уроках фізики, технології. Деякі матеріали були використані при проведенні математичного вечора про життя і діяльність М.Остроградського, що посприяло виявленню інтересу товаришів не тільки познайомитися з ними, а і вивчити, запам´ятати, щоб потім застосовувати на уроках математики, хімії, фізики, а також при здачі ЗНО.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Перельман Я. І. Швидкий рахунок. Л.: Союздрук, 1945.

2. Берман Р. М. Прийоми рахунки, вид. 6-те, М., Физматгиз, 1959.

3. Катлер. Еге., Мак - Шеин Р. Система швидкого рахунку за Трахтенбергу. Пер. з анг. М., "Просвітництво", 1967. 4. 4.Кордемский Б. А. Ахадов А. А. Дивовижний світ чисел: Книга учнів, – М. Освіта, 1986. 5.Білл Хендлі «Вважайте в умі як комп’ютер», Мінськ, Попурі, 2009р. 6. Мінських Е. М. «Від гри до знань», М. «Просвещение», 1982р.

Додаток Б

Додаток В

Додаток Г

Множення на шість по Трахтенбергу

Потрібно множення на 6 треба робити за правилом : додати до кожної цифри половину «сусіда».

Приклад: 0622084 х 6

0622084 х 6

4

Перший крок 4 є правою цифрою даного і як «сусіда» вона не має, додавати нічого.

0622084 х 6

04

Другий крок. Друга цифра 8, її «сусід» - 4. Ми беремо 8 плюсуємо половину 4 (2) й одержуємо 10, нуль пишемо, 1 в перенесення.

0622084 х 6

504

Третій крок. Наступна цифра нуль. Ми плюсуємо до неї половину «сусіда» 8 (4), тобто 0 + 4 = 4 перенесення (1).

Решту кроків аналогічні.

Відповідь : 3732504

І так, повне правило множення на 6: додайте до кожної цифри половину «сусіда» і ще 5 в тому випадку якщо цифра непарна. Чи є «сусід» парною чи непарною цифрою – ніякої ролі не грає. Ми постійно дивимося лише на саму цифру: якщо вона парна, плюсуємо до неї цілу частину половини «сусіда», якщо непарна, то крім половини «сусіда» плюсуємо ще п'ять.

Приклад: 0443052 х 6

Перший крок

0443052 х 6 2 - парна і немає «сусіда», напишемо її знизу

2

Другий крок

0443052 х 6 5 - непарна: 5 + 5 і плюс половина «сусіда» 2 (1)

12 буде 11.

Третій крок

0443052 х 6 половина від 5 буде 2, і додамо перенесення 1, буде 3

312

Четвертий крок

0443052 х 6 3 - непарна, 3 + 5 =8

8312

П´ятий крок

0443052 х 6 4 + половина від 3 (1) буде 5

58312

Шостий крок

0443052 х 6 4 + половина від 4 (2) буде 6

658312

Сьомий крок

0443052 х 6 нуль + половина від 4 (2) буде 2

2658312

Відповідь : 2658312

Додаток Д

Множення на 7 по по Трахтенбергу

Правило множення на 7схоже на правило множення на 6: треба подвоїти цифру і додати половину сусіда. Якщо цифра не парна то треба додати 5.

Наприклад 4242х7

Перший крок

04242 х 7 2 х 2=4

4

Другий крок

04242 х 7 2 х 4+1 (половина сусіда)

94

Третій крок

04242 х 7 2х2 +4 (половина сусіда)

694

Четвертий крок

04242 х 7 2х4 +1 (половина сусіда)

9694

П´ятий крок

04242 х 7 2х0 +2 (половина сусіда

29694

Відповідь: 29694

Наприклад 3412х7

Перший крок

03412 х 7 2 х 2=4

4

Другий крок

03412 х 7 2 х 1+5 +1 (половина сусіда, половина від 2)

84

Третій крок

03412 х 7 2х4 + (половина сусіда)

884

Четвертий крок

03412 х 7 2х3 +5+4 (половина сусіда)

3884

П´ятий крок

03412 х 7 2х0 +2 (половина сусіда і 1 яка залишилася)

23884

Відповідь: 23884

Додаток Е

Таблиця множення на пальцях
Для його застосування кисті обох рук слід покласти на стіл
долонями донизу. Пальці слід пронумерувати (подумки) так, як
Якщо ми множимо, наприклад, 3 на 9, то загинаємо третій
палець-множник, як показано на рисунку.
Не загнуті пальці, що зліва від загнутого, дають десятки добутку. Не загнуті пальці, що справа від загнутого, дають одиниці добутку.

Цим способом можна швидко вивчити таблиці 5 ∙ 9; 7 ∙ 9; 8 ∙ 9;
2 ∙ 9; 4 ∙ 9; 9 ∙ 9.

Додаток И

Китайський спосіб

Додаток Ж

Спосіб решітки

296 х 73=21608.

Додаток И

8

2004 4

4008 2

8016 1

Отже, 1002 х 8=2004 х 4=4008 х 2=8016 х 1=8016.

Додаток К

Прийоми швидкого додавання та віднімання натуральних чисел

Якщо один із доданків збільшити на кілька одиниць, то від знайденої

суми треба відняти стільки ж одиниць.

Наприклад 246 + 497 =246 + (497 + 3) – 3 =246 + 500 – 3 = 743

Якщо із доданків збільшити на кілька одиниць, а другий зменшити

на стільки ж одиниць, то сума не зміниться.

Наприклад 396 + 458 = (396 + 4) + (458 – 4) =400 + 454 = 854

Якщо до зменшуваного та від’ємника додати одне і те ж саме число,

то різниця не зміниться.

Наприклад 2532 – 995 = (2532 +5) – (995 + 5) = 2537 – 1000 = 1537

Якщо від суми двох чисел відняти різницю цих самих чисел, то в

результаті отримаємо подвоєне менше число, тобто

(а + в) – (а – в) = 2в

Наприклад (69 + 35) – (69 – 35) = 2 · 35 = 70

Якщо до суми двох чисел додати їх різницю, то в результаті

Отримаємо подвоєне більше число , тобто (а + в) + (а – в) = 2а.

Наприклад (84 + 13) + (84 – 13) = 2 · 84 = 168

Прийоми швидкого множення та ділення

натуральних чисел

Застосування розподільної властивості множення відносно додавання і віднімання до множників, один з яких подано у вигляді суми або різниці.

Наприклад 9 · 57 = 9 · (50 + 7) = 9 · 50 + 9 · 7 = 450 + 63 =513

9 · 57 = 9 · (60 – 3) = 9 · 60 – 9 · 3 = 540 – 27 = 513

9 · 57=(10 – 1) · 57 = 10 · 57 – 1 · 57 = 570 – 57 = 513

8 · 98 = 8 · (100 – 2) = 8 · 100 – 8 · 2 = 800 – 16 = 784

2. Множення методом Фероля.

Для знаходження одиниць добутку множать одиниці множників;

для знаходження десятків множать десятки одного числа на

одиниці іншого та навпаки і результати додають;

для знаходження сотень множать десятки множників;

цей спосіб випливає з рівності

(10а + b) · (10с + d) = 100ас +10(ad + bс) + bd.

Наприклад 39 · 24 = 936 9 · 4 = 36 , 6 – пишемо, 3 – пам’ятаємо;

3 · 4 + 9 · 2 + 3 =12 + 18 + 3 =33;

3 – пишемо; 3 – пам’ятаємо;

3 · 2 + 3 = 6 + 3 = 9, 9 – пишемо.

Цим методом зручно усно множити двоцифрові числа, особливо

від 10 до 20.

Наприклад 17 · 12 = 304 7 · 2 = 14;

1 · 2 + 7 · 1 + 1 = 10;

1 · 1 + 1 = 2.

Можна помножити трицифрове число на двоцифрове.

Наприклад 215 5 · 7 = 35 , 5 – пишемо, 3-пам’ятаємо;

17 1 · 7 + 5 · 1 + 3 = 15; 5 – пишемо,

3655 1 - пам’ятаємо;

7 · 2 + 1 · 1 + 1 = 16 ; 6 – пишемо,

1 - пам’ятаємо;

1 · 2 + = 3, пишемо 3.

Множення чисел , що мають однакове число десятків , а сума одиниць дорівнює 10.

Цей спосіб ґрунтується на рівності

(10а + в) · (10а + с) = 100а · (а + 1) + вс , де в + с =10.

Число десятків одного із множників треба помножити на число, що на одиницю більше від числа десятків, а потім помножити одиниці цих чисел; праворуч від першого результату записати другий.

Наприклад 53 · 57 = 3021 5 · (5 + 1) = 30 , пишемо – 30 ;

3 · 7 = 21 , праворуч дописуємо 21.

102 · 108 = 11016 10 · (10 + 1) = 10 · 11 = 110, пишемо 110;

2 · 8 = 16 , праворуч дописуємо 16.

4. Множення чисел на 5; 25; 125.

Поділити число відповідно на 2, 4, 8, і результат помножити на 10, 100, 1000.

Наприклад 38 · 5 = 38 : 2 · 10 = 19 · 10 = 190

36 · 25 = 36 : 4 · 100 = 900

24 · 125 = 24 : 8 · 1000 = 3000

Якщо множник не ділиться на 2, 4, або на 8, то треба виконати ділення з остачею; знайдену частку помножити відповідно на 10, 100, 1000, а остачу – на 5, 25, чи 125.

Наприклад 47 · 5 = 23 · 10 + 1 · 5 = 235, бо 47 : 2 = 23 (ост.1)

55 · 25 = 13 · 100 + 3 · 25 = 1300 + 75 = 1375, бо55 : 4 = 13 (ост.3)

49 · 125 = 6 · 1000 + 1 · 125 = 6000 +125 = 6125,бо49 : 8 = 6 (ост.1)

5. Множення чисел на 11.

Записати останню цифру числа (цифру з розряду одиниць) , потім послідовно , справа наліво записувати суми сусідніх двох цифр множника і , нарешті , першу цифру множника.

Наприклад 35 · 11 = 385 пишемо 5; до 3 додаємо 5, буде 8; тому ліворуч від 5 пишемо 8, і, нарешті, цифру 3.

152 · 11 = 1672 пишемо 2; 2 + 5 = 7; пишемо 7;

1 + 5 = 6 ; пишемо 6; пишемо 1.

Якщо сума сусідніх цифр виявиться більшою від 9, то на відповідному місці записуємо число одиниць цієї суми , а до наступної суми додаємо число 1;

додають одиницю і до останньої цифри (цифри у найвищому розряді числа), якщо попередня сума була більша від числа 9.

Наприклад 159 · 11 = 1749 1) пишемо 9;

2) 5 + 9 = 14 , пишемо 4, пам’ятаємо1;

3) 1 + 5 + 1 = 7, пишемо 7;

4) пишемо 1.

1) пишемо 7;

2) 7 +8 =15 ; 5 – пишемо,

1 – пам’ятаємо ;

9587 · 11 = 105457 3) 5 + 8 + 1 = 14; 4 – пишемо,

1 –пам’ятаємо ;

4) 9 + 5 + 1 = 15; 5 – пишемо,

1 – пам’ятаємо ;

5) 9 + 1 = 10, пишемо 10.

Множення на двоцифрові числа, у яких цифри повторюються (числа виду аа).

Помножити число на а, а потім - на 11.

Наприклад 34 · 55 = (34 · 5) · 11 = 170 · 11 = 1870

Множення двоцифрового числа на 111.

Справа наліво послідовно треба записати :

останню цифру множника;

суму цифр цього множника;

ще раз суму цифр множника;

першу (зліва) його (множника) цифру.

Наприклад 35 · 111 = 3885

Якщо сума цифр двоцифрового числа більша від 9, то записуємо цифру одиниць кожної суми, а до наступного результату додаємо 1.

Наприклад 79 · 111 = 8769 1) пишемо останню цифру 9;

2) 7 + 9 = 16, 6 – пишемо, 1 – пам’ятаємо;

3) 7 + 9 + 1 = 17, 7 – пишемо,

1 – пам’ятаємо;

4) 7 + 1 = 8, 8 – пишемо.

8. Множення чисел на 9, 99 та 999.

Перший множник помножити відповідно на 10, 100, 1000 і від знайденого добутку відняти відповідно 9, 99, 999.

Наприклад 359 · 9 = 359 · 10 – 9 = 3590 – 9 = 3581

15 · 99 = 15 · 100 – 99 = 1500 – 99 = 1401

9. Ділення на 5, 25, 125.

Помножити число відповідно на 2, 4, 8 та поділити на 10, 100, 1000 (або помножити на 10, 100, 1000 та поділити відповідно на 2, 4, 8).

Наприклад 340 : 5 = 340 · 2 : 10 = 680 : 10 = 68

1200 : 25 = 1200 · 4 : 100 = 4800 : 100 = 48

1200 : 25 = 1200 : 100 · 4 = 12 · 4 = 48

10. Піднесення до квадрата двоцифрових чисел, що мають

5 десятків.

До 25 додати цифру розряду одиниць і праворуч до результату дописати квадрат числа одиниць так , щоб утворилось чотирицифрове число.

Запропонований спосіб випливає з рівності :

(50 + а)2 = 100 · (25 + а) + а 2.

Наприклад 532 = 2809 1) 25 + 3 = 28, пишемо 28;

2) 32 = 9, дописуємо 09.

572 = 3249 1) 25 + 7 = 32, пишемо 32;

2) 72 = 49, дописуємо 49.

11. Множення на 15.

До числа додати його половину (якщо число парне) і дописати 0; а якщо непарне, то дописати 0, а потім додати половину новоутвореного числа.

Наприклад 54 ∙ 15 = ( 54 + 27) ∙ 10 =810;

45 ∙ 15 = 450 + 225 = 675.

12. Множення чисел, що закінчуються на 5, якщо різниця між числами дорівнює 10.

Треба помножити більше число десятків саме на себе, від добутку відняти 1 і дописати 75.

Наприклад 35 ∙ 45 = ( 4∙4 – 1 )75 = 1575;

85 ∙ 95 = ( 9∙9 – 1 )75 = 8075.

13. Множення чисел, що закінчуються на 5, якщо різниця між числами дорівнює 20.

Треба число десятків більшого числа помножити на число десятків меншого числа, збільшеного на 1; від отриманого добутку відняти одиницю і приписати 25.

Наприклад 25 ∙ 45 = (4∙3 – 1 )25 = 1125;

55 ∙ 75 = (7∙6 – 1)25 = 4125.

14. Множення двоцифрових чисел, близьких до числа 100.

1. Множення чисел менших за число 100.

Щоб виконати множення чисел, менших за 100, слід:

знайти недостачі множників до числа 100, тобто різниці між числом 100 і кожним із множників;

від будь-якого множника відняти недостачу іншого до числа 100;

до результату дописати двома цифрами добуток недостач множників до числа 100.

Наприклад 94 ∙ 97 = 9118 1) 100 – 94 = 6; 100 – 97 = 3;

2) 94 – 3 = 91 (або 97 – 6 = 91);

3) 6 ∙ 3 = 18; до числа 91 дописуємо двома цифрами число 18. Маємо:

91∙100 + 18 = 9118.

78 ∙ 89 = 6942 1) 100 – 78 = 22; 100 – 89 = 11;

2) 78 – 11 = 67;

3) 22 ∙ 11 = 242; число 242 дописуємо

двома цифрами до числа 67. Маємо:

67 ∙ 100 + 242 = 6942.

2. Множення чисел , більших за число 100.

Щоб помножити двоцифрові числа більші за число 100, слід:

знайти надлишки множників над числом 100, тобто різниці між даними числами і числом 100;

до будь-якого множника додати надлишок іншого над числом 100;

до результату дописати двома цифрами добуток надлишків.

Наприклад 107∙113 = 12091 1) надлишки дорівнюють 7 і 13;

2) 107 + 13 = 120; 7∙13 = 91;

3) до 120 дописуємо двома цифрами

число 91. Маємо:

120 ∙ 100 + 91 = 12091.

15. Множення трицифрових чисел, близьких до числа 1000.

Щоб помножити трицифрові числа, близькі до числа 1000, слід:

знайти недостачі множників до числа 1000;

відняти від одного множника недостачу іншого до числа 1000

до результату дописати трьома цифрами добуток недостач множників до числа 1000.

Наприклад 994·989 = 983066 1) 1000 – 994 = 6; 1000 – 989 = 11;

2) 994 – 11 = 983;

3) 6∙11 = 66; дописуємо до числа

983 трьома цифрами число 66.

Маємо:

983 ∙1000 + 66 = 983066.

16. Множення чотирицифрових чисел, близьких до числа 1000.

Щоб помножити чотирицифрові числа, близькі до числа 1000, слід:

знайти надлишки множників над числом 1000;

до будь-якого множника додати надлишок іншого над числом 1000;

до результату дописати трьома цифрами добуток надлишків.

Наприклад 1003 ∙ 1012 = 1015036 1) надлишки множників над числом

1000 дорівнюють 3 і 12;

2) 1003 + 12 = 1015;

3) 3∙12 = 36; до числа 1015 допи –

суємо трьома цифрами число 36.

Маємо:

1015 ∙ 1000 + 36 = 1015036.

17. Піднесення до квадрата чисел, близьких до 50.

1. Піднесення до квадрата чисел, менших за число 50.

Щоб піднести до квадрата число, менше за число 50, слід:

від числа відняти 25;

до результату дописати двома цифрами квадрат недостачі числа до 50.

Наприклад 482 = 2034 1) 48 – 25 = 23;

2) 22 = 4 ( квадрат недостачі числа 48

до числа 50);

3) 23 ∙ 100 + 4 = 2304.

2. Піднесення до квадрата чисел, більших за число 50.

Щоб піднести до квадрата число, більше за число 50, слід:

від числа відняти 25;

2) до результату дописати двома цифрами квадрат надлишку числа над числом 50.

Наприклад 532 = 2089 1) 53 – 25 = 28;

2) 32 = 9 (квадрат надлишку числа 53

над числом 50);

3) 28 ∙ 100 + 9 = 2089.